高二数学圆锥曲线中的方法与运算 苏教版
1. (与名师对话第51练) 已知抛物线 ,点 , 问是否存在过点 的直线 ,
使抛物线上存在不同的两点关于直线 对称,如果存在, 求出直线 的斜率 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.
分析: 这是一个求变量(斜率 )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率 )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.
我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量 的取值范围.
解: 设直线 的方程为 ,若 ,则结论显然成立,即 可取.若 ,
则直线PQ的方程为 , 由方程组 可得, .
∵ 直线PQ与抛物线有两个不同的交点,
∴ 即 .
设线段PQ的中点为G( ), 则 ,
∴ ,
∵ 点G( )在直线 上, ∴ = , 由 可得, ,
∴ , ( ) , ∴ 或 .
综上所述, 直线 的斜率 的取值范围为 .
2. (与名师对话第51练)已知椭圆 , 点A是椭圆与 轴的交点, F为椭圆的右焦点, 直线 与
椭圆交于B,C两点.
（1） 若点M满足 ,求直线 的方程;
（2） 若 , 在 上,且 ,求动点 的轨迹
方程.
分析: 题(1)是个定状态的问题: 由 可知,点M是定点,且由
是线段BC的中点, 由此可求得直线BC即直线 的方程.
解(1) 由椭圆 可知A(0,4), F(2,0).
∵ , ∴ (2,0)-(0,4)=2[( )-(2,0)], ∴ 即
M(3,-2).
∵ , ∴ 点M是线段BC的中点,
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