浅谈数学归纳法的应用教辅资源

※ 大小：66.07KB	※ 时间：2007-07-05 00:00:00
※ 推荐程度：4	※ 上传：
※ 人气：1399	※ 下载：451
※ E币：0

浅谈数学归纳法的应用　　数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。　　一、用数学归纳法证明整除问题　　用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。　　例1、是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由. 　　证明：解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36， f（2）=3×36， f（3）=10×36， f（4）=34×36，由此猜想m=36. 　　下面用数学归纳法证明：　　（1）当n=1时，显然成立. 　　（2）假设n=k时， f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］•3k+1+9=3［（2k+7）•3k+9］+18（3k--1－1），　　由于3k-1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除. 　　由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36. 　　二、用数学归纳法证明恒等式问题　　对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．　　例2、是否存在常数，使得等式对一切自然数成立？并证明你的结论．　　解：假设存在，使得题设的等式成立，则当时也成立，代入得　　解得，于是对，下面等式成立：　　令　　假设时上式成立，即　　那么　　.........